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真空における電磁場の量子化①　古典場電磁場の基準モード展開

物理

すこし本を読んでいてまとめたくなったのでまとめます。

読んでた本は以下です。

場の量子論〈第1巻〉量子電磁力学

場の量子論〈第1巻〉量子電磁力学

  • 作者: F.マンドル,G.ショー,Franz Mandl,Graham Shaw,樺沢宇紀
  • 出版社/メーカー: 丸善プラネット
  • 発売日: 2011/05/01
  • メディア: 単行本
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手続きとしては

  1. ベクトルポテンシャルを基準モード展開（フーリエ展開）する。
  2. 各モードの振幅に対して交換関係を定義し量子化する。

ね？簡単でしょう？

 

まずマクスウェル方程式のポテンシャル表示をします。

{ \begin{align} \displaystyle{ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}+div{\bf A}\right)=\rho \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right){\bf A}-\nabla \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}+div{\bf A}\right)=\frac{\bf j}{c} } \end{align} }

ポテンシャル表示を使った場合、ゲージ条件を任意で一つ選べるんですが、次のゲージ条件（クーロンゲージ）を採用します。
{ div{\bf A}=0}

するとうまうまい具合にスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの式が分離します。
{ \begin{align} \displaystyle{ \nabla^2\phi=-\rho \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right){\bf A}=\frac{\bf j}{c} } \end{align} }

今回簡単のため真空、つまり静電荷も電流も流れていないと想定する。
するとスカラーポテンシャルはラプラス方程式に、ベクトルポテンシャルは波動方程式になります。

{ \begin{align} \displaystyle{ \nabla^2\phi=0 \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right){\bf A}=0 } \end{align} }

まずはスカラーポテンシャルについて。
詳細な過程は省きますが無限遠点で発散しない解は次の解のみになります。
ラプラス方程式の解放でググってください。
{ \begin{align} \displaystyle{ \phi=0 \\ } \end{align} }

で、本命のベクトルポテンシャルについて。
境界条件として一辺Lで体積Vの立方体の境界で値が0になるという周期条件を果します。
この空間内でフーリエ級数展開するわけです。
ただしベクトルポテンシャルはその名の通りベクトルなので振動方向の任意性が有るため若干議論がややこしくなります。


まず正規直交基底を定義します。BaseなのでBとでもしておきましょうか。
方向の自由度は３次元あります。
{ \displaystyle{ {\bf B}_{{\bf k}s}\left({\bf r}\right)=\frac{1}{\sqrt V}{{\bf \epsilon}_s} \mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} \\ {\bf \epsilon}_s \cdot {\bf \epsilon}_{s'} = \delta_{ss'} \ \ s=1,2,3\\ {\bf k} = \frac{2\pi}{L}\left(n_x,n_y,n_z\right) }}


そうするとこんな感じにいい具合に方向と周波数両方で直行します。
{ \displaystyle{ \langle {\bf B_{ks}}, {\bf B_{k's'}}\rangle = \iiint_V dxdydz {\bf B_{ks}}\cdot{\bf B_{k's'}} = \frac{1}{V} \iiint_V dxdydz \left( {\bf \epsilon}_s \cdot {\bf \epsilon}_{s'} \right) e^{i \left({\bf k}-{\bf k'}\right)\cdot {\bf r}} = \delta_{s, s'} \delta_{{\bf k}, {\bf k'}} }}


フーリエ展開の要領でAを展開してあげます。（基準モード展開）
{ \displaystyle{ {\bf A}\left({\bf r},t\right) = \sum_{r} \sum_{\bf k} \left(c_{{\bf k}s}{\bf B}_{{\bf k}s}+c_{{\bf k}s}^*{\bf B}_{{\bf k}s}^*\right) = \sum_{r} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} {{\bf \epsilon}_s} \left(c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} +c_{{\bf k}s}^*\mathrm{e}^{-i{\bf k} \cdot {\bf r}} \right) \\ c_{{\bf k}s}\left(t\right) = \iiint_V {dxdydz} \frac{1}{\sqrt{V}} \left({\bf \epsilon}_{s}\cdot{\bf A}\right) \mathrm{e}^{-i{\bf k} \cdot {\bf r}} }}


ベクトルポテンシャルは物理量だから実数ベクトルであることに注意します。


ここでゲージ条件を忘れずに取り込みます。
ゲージ条件により方向の自由度は２に下がります。
{ \displaystyle{ div{\bf A} = \sum_{s} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} div \left( {{\bf \epsilon}_s} \left(c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} +c_{{\bf k}s}^*\mathrm{e}^{-i{\bf k} \cdot {\bf r}} \right) \right) = \sum_{s} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} \left( {\bf k}\cdot{{\bf \epsilon}_s} \right) \left(c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} - c_{{\bf k}s}^*\mathrm{e}^{-i{\bf k} \cdot {\bf r}} \right) =0 \\ {\bf k}\cdot{{\bf \epsilon}_s} = 0 \ \ s=1,2 }}


これを波動方程式に放り込んで
{ \displaystyle{ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right){\bf A} = \sum_{s} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}}{{\bf \epsilon}_s} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right) \left(c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} +c_{{\bf k}s}^*\mathrm{e}^{-i{\bf k} \cdot {\bf r}} \right) =0 \\ \forall {\bf k},s \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right) c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} =0 \\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\|{\bf k}\|^2\right) c_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i{\bf k} \cdot {\bf r}} =0 \\ c_{{\bf k}s}\left(t\right) = c^0_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{-ic\|{\bf k}\|t} \\ }}

結局ベクトルポテンシャルは以下のようになる。
{ \displaystyle{ {\bf A}\left({\bf r},t\right) = \sum_{r} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} {{\bf \epsilon}_s} \left(c^0_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } +c_{{\bf k}s}^{0*}\mathrm{e}^{-i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } \right) }}


電場と磁場はそれぞれ
{ \displaystyle{ {\bf E}\left({\bf r},t\right) = -\frac{1}{c}\frac{\partial{\bf A}}{\partial t} = -\sum_{s} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} \|{\bf k}\| {{\bf \epsilon}_s} \left(c^0_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } -c_{{\bf k}s}^{0*}\mathrm{e}^{-i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } \right) \\ {\bf B}\left({\bf r},t\right) = rot{\bf A} = \sum_{s} \sum_{\bf k} \frac{1}{\sqrt{V}} \left( {\bf k}\times{{\bf \epsilon}_s} \right) \left(c^0_{{\bf k}s}\mathrm{e}^{i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } -c_{{\bf k}s}^{0*}\mathrm{e}^{-i \left( {\bf k} \cdot {\bf r} - c\|{\bf k}\|t \right) } \right) \\ }}


ここで電磁場のハミルトニアンは
{ \displaystyle{ {\bf H} = \iiint{dxdydz}{\frac{1}{2}\left(\left\| {\bf E} \right\|^2 + \left\| {\bf B} \right\|^2 \right)} = \sum_{s} \sum_{\bf k} 2 \|{\bf k}\|^2 c^0_{{\bf k}s}c^{0*}_{{\bf k}s} }}

今日はこのあたりまでにしておきます。

振り袖祭り

その他

成人の日ですね 諸般の事情から時間を持て余してスタバにやってきたわけですが、成人式待機してる振り袖が多数いらっしゃいました。 振り袖の可愛い子ちゃんの話・・・ではなく振り袖について書きます。

いい感じにまとめてあるサイトを見つけたので貼っておきます。 こういう情報はWikipediaより専門店の情報のほうが信頼できますね。

振袖の豆知識・歴史 ttp://xn--tor23w43pureb94a.net/%E6%8C%AF%E8%A2%96%E3%81%AE%E8%B1%86%E7%9F%A5%E8%AD%98%E3%83%BB%E6%AD%B4%E5%8F%B2/

ざっとまとめると * 振り袖が始まりは江戸時代 1804年ごろからオシャレ着化 袖氏時代とともに着実に伸びる *江戸時代の成人式から着てた模様

なんか江戸時代からあんまり風習変わってないですね。 HURISODEは結構伝統的なシャパニーズカルチャーのようです。 月並みな意見ですがこういうのは大事にしていきたいですね。

ところで袖はどこまで伸びるんでしょうか？ 流石に裾よりは長くならないと信じたいですが、現実的なラインで止まるのかな？ 答え合わせは100年後に致しましょう。

WebGLの勉強

エンジニアリング

WebGLを少し勉強したので少しコードをコピーしてみました。動くかな

正しく動いたら白い三角形が回転しているはずです

ソースコードはこんな感じになります。

あけましておめでとうございます

その他

新年あけましておめでとうございます。

３日だからまだセーフだよね？

はてなブログの今週のお題も「2017年にやりたいこと」なのでセーフセーフ

 

別に頼んでないけど突然いらっしゃった2017年、新年とはいつもそんなもんです。

平成も29年に入りました。明仁くんもこんなにおおきくなって。。。（不敬罪）

 

怒涛の奇襲をかけてきた2017年ですが、備えあれば憂いなしかな、なんと2016年の間に目標設定をしていたのです。

今年の抱負というやつです。

おおなんと意識の高い、意識高すぎて意識が薄れてきた。。。。

まぁザックリこんな感じです。

　仕事：年間残業180時間以内

　技術：paizaのコードスキルAに到達

　物理：標準理論くらいは理解できるようになろう

　投資：去年の損失分を補填

まぁでも割りかし消極的な目標なのでそのうち変わるかもしれません。

またもう一つ秘密の目標もあります。

 

さてなんでこんな慣れないことしてるかというと↓のようなサイトが有りまして

sketch-life.com

意識高すぎて衛星軌道上に到達してる感じのサイトなんですが、いい感じに目標設定のイベントをやってたので乗らせていただきました。（イベントの参加者募集自体は終わってます）

せっかく目標立てたので達成できたらなぁと思います。

 

今年もよろしくおねがいします、ではありきたりなので

今年も逃げ切れると思うなよ、で締めておきます

倍増

テクノロジー

今日私の会社のPCのメモリが倍に増えました。

経緯としてはリース期限を満了したノートPCが返却になって、増設に使われていたメモリが回ってきたわけですが、それはともかく倍になったわけです。

倍！倍！倍！そのメモリ搭載量なんと！４G！

 

・・・・なんだ４GBか。

冷静になると虚しい。だって自宅のMacちゃんは8GBですから。

むしろ今まで２GBでどうやって頑張ってきたのかという謎も有るが、

まぁともかく倍増することによって圧倒的に快適な動作が、

 

やってこなかった。

あっそういうことね（察し

ボトルネックはメモリではなくストレージであったようです。

気持ち若干軽くなったかなと言うプラシーボ効果が得られたので良しとしましょう。

 

結論：SSDは偉大

 

大学時代にはすでにSSD搭載ノートを使っていましたが、改めて思い知らされた感じです。

なお自宅のMacBookAirちゃんは8GB+SSDという圧倒的スペックでありながらブラウジングぐらいにしか使っていません。

ああ、なんか衰えたな。

実年齢の話ではなく、こう最先端を追っかける心意気に関して。

ん〜こうもう少し色々書きたい気持ちはあったんですけど、何でしょう、大学時代から思ってましたが書くものがないんですね。

JavaでAA自動生成プログラムとか書いちゃったり、２ｃｈに自動投稿するスクリプト作ったり、自宅サーバーのSQLに接続する家計簿とか作ったり、色々やってみたものの、やり方さえ理解すればあとはなんか殺る気失うというか。

結局知識にしてしまえば飽きるというところがあるわけですよ。

（ちなみに今一番書いてみたいのはWebGLを用いた波動関数の描画）

 

相変わらずムーアの法則は守られて18ヶ月で性能は倍に増えているらしいです。

まぁでも性能として実感ができる時代は終わってしまったのかなと思います。

今のPCのにはなんでも出来るんです。スマホでも３Dバリバリ動くしね。

後は何がしたいかということ。

それが一番大事だけど一番難しいなと思う今日このごろという話でした。

ツール依存症

ライフハック

高名なMac向けGTDツールであるOmniforcusを買ってみました。

まぁ結論から言うと期待はずれかなって感じです。

このソフトの基本思想として

 

　　全てのタスクはINBOXかプロジェクトに属す

 

というのが有るんですが、この辺が少しGTDの原則から外れてるかなーと思います。

タスクマネージャーとしては優秀なんですけどね。

愚直に原則に従って猫も杓子もセシウムもINBOXに突っ込んでる我が身としては、『プロジェクトではないもの』を入れておく箱がどうしても欲しくなるという。

Omniforcusはプロジェクトが３種類あって、その中の『単独アクション』というのがこの辺を一応カバーをしています。

単独アクションのプロジェクトって要は『タスクの集合』なのでプロジェクトではないんですけど、こいつを使えばプロジェクトに属さないタスクはコントロールできるかなと。

ただそれ以外はなかなか管理するのはやりにくいですね。

それ以外というのは

  • 『いつか／たぶん』
  • 高度2000m以上の視点

いつか、多分に関しては要はやるべきではない情報なんで直ちに人体に影響はないんですが後々やるべきことに変化したり、ボトムアップで高い視点を得るときに役に立ちます。なので週に一度ぐらいレビューすべきなので専用の箱を用意して投げ込んどいてあげたいんですが、入れる場所がない。対策としては先の単独アクション型プロジェクトで囲ってあげてレビュー日まで先延ばし扱いしてあげることで解決可能。

他にも色んな人は色んな形で導入しているようです。

 

2000m以上の高度のタスクというのは端的にいうと目標とかなんだかんだで、プロジェクトの上位の概念なのですが、フォルダとは少し違うんでうね。。。

あと個人的にネスト深くするのは嫌いなのでフォルダは使わないことにしました。

これは私見なのですが、人間が一度に理解できる階層は３つが限度だと思っています。

アクションとプロジェクト、 あと仕事とプライベートの区別で３階層です。

これ以上深くしてもアクションが見えなくなるので必要なときにゆっくり腰を据えて処理すべきです。

 

まぁ今回のオチとしましては、ツールはツールであるがゆえに単なるツールでしか無いということでしょうか。手段は提供してくれるがどう運用するかは使う人次第という当たり前の結論で締めようと思います。

『時は加速』する

その他

11月ももう半ばを過ぎたということで、「えっもう2016年もう終わるの？」と驚きを隠せません。天地創造がつい昨日のことのように思い出されます。

 

さて君らに計り知れないことでしょうが時は加速します。

同じ時間でも年を取った人のほうが時間は短く感じるというのはよく知られている事実のようです。その理由としてはこれまで経験した人生の時間に対する、『現在』の割合が少ないからという説が言われています。

 

まぁそういう学術的な話は置いといて、もっと身近な経験的な話として、社会人として働き始めてから時の流れはいよいよ加速されたなと感じます。

理由としては、やっぱり学生の間は学年という明確な区切りが用意されてるからかなと思います。毎年同じように過ごしていても否応なく次の学年への駒を進めることで生活に変化が生じていく。それぞれの一年には新規性があり長く感じるんじゃないかなと思います。留年した人はちょっと黙っててね。

しかし社会人になった後は自分から動かない限り環境自体におきな変化というのは起こらない。同じ一年を繰り返しているようで少しずつ進んでいく、そういう螺旋の力を失って時しまったがゆえに円環の理に導かれ、いつか見た『今年』を過ごすから早く感じるのではと思います。